Além da importância no sentido de armazenar informações, as matrizes são fundamentais para a resolução de diversos problemas que surgem nas mais variadas áreas do conhecimento.
Tais resoluções ocorrem a partir de operações com as matrizes.
Algumas destas operações com matrizes são mais simples, como a soma de matrizes e a multiplicação de uma matriz por um número. Outras, porém, requerem um pouco mais de atenção.
Então, siga conosco para dominar estas operações e se capacitar para resolver problemas.
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Soma de matrizes
A regra para podermos somar duas matrizes é que elas tenham a mesma dimensão. E o resultado será uma terceira matriz, que terá a mesma dimensão das duas matrizes somadas.
Considerando A e B matrizes com m linhas e n colunas, a soma delas resultará em uma matriz, que podemos chamar de C, também mxn, cujo elemento da linha i e coluna j será cij = aij + bij.
Que tal ver exemplos passo a passo desta operação? Vamos nessa.
Exemplos passo a passo
Através do app A⁺Example você pode acompanhar, no seu ritmo, a soma de matrizes que desejar. Claro, desde que elas sejam compatíveis.
Siga os exemplos a seguir.
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Exercícios
O app A⁺Practice te oferece toda a estrutura para você somar as matrizes que desejar, sem se preocupar com as continhas secundárias. Você apenas decide qual operação aplicar em cada passo.
E, após você submeter sua resolução, o A⁺Feedback irá corrigi-lá imediatamente, e com precisão.
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Transposição de matrizes
A definição, juntamente com um exemplo numérico, já vimos em Matriz Transposta.
Para entender melhor o processo de obtenção da matriz transposta, siga os exemplos abaixo.
Exemplos
Através do app A⁺Example você pode acompanhar, no seu ritmo, a transposição da matriz que desejar. Antes, acompanhe para as duas a seguir.
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Mostre que você aprendeu, resolvendo exercícios a seguir.
Exercícios
O app A⁺Practice te oferece um ambiente para transpor a matriz que desejar. Você monta a matriz transposta e, após submeter sua solução, o A⁺Feedback irá corrigi-lá imediatamente, e com precisão.
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Para transpor alguma outra matriz, basta [EM BREVE] digitar os dados e escolher A⁺Example ou A⁺Practice. Aproveite!
Multiplicação de um escalar por uma matriz
Se trata de uma operação envolvendo um número (escalar) e uma matriz.
Ela consiste em multiplicar o escalar por cada elemento da matriz, resultando em uma outra matriz da mesma dimensão.
Em Álgebra Linear, no tópico combinação linear, por exemplo, esta operação é fundamental.
Vamos aos exemplos.
Exemplos
Como já conhecemos a estrutura do A⁺Example, basta escolher a questão abaixo e seguir.
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Vamos para a prática.
Exercícios
Também já conhecemos a estrutura do A⁺Practice, então escolha a questão e sega para a resolução.
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Para realizar esta operação com um escalar e uma matriz que você desejar, basta [EM BREVE] digitar os dados e escolher A⁺Example ou A⁺Practice. Aproveite!
Produto interno
O produto interno, que iremos considerar aqui, é uma operação que se aplica em matrizes de uma única dimensão, isto é, em vetores.
Esta operação é fundamental em diversas teorias e é usada, por exemplo, na Geometria Euclidiana, para o cálculo do ângulo entre dois vetores.
O produto interno também é fundamental para o tópico a seguir, multiplicação de matrizes. Então, fique atento.
A regra para que exista o produto interno entre dois vetores é que eles devem possuir a mesma quantidade de elementos.
E, neste caso, o resultado (produto interno) será um número. Vejamos um exemplo abaixo, cujo valor do produto interno é igual a 14.
De forma geral, o produto interno entre dois vetores é a soma dos produtos de seus elementos, em posições correspondentes.
Acompanhe o cálculo, passo a passo, do produto interno para outros exemplos.
Exemplos
Siga, pelo A⁺Example, o cálculo de cada produto interno.
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Exercícios
Agora, utilize a estrutura do A⁺Practice para encontrar o produto interno em cada questão.
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Para realizar esta operação com pares de vetores que você desejar, basta [EM BREVE] digitar os dados e escolher A⁺Example ou A⁺Practice. Aproveite!
Multiplicação de matrizes
Por se tratar de um tópico mais extenso, que julgamos interessante dar uma atenção especial, criamos um artigo exclusivo para ele. Venha conosco!
Escalonamento de matrizes
O escalonamento de matrizes, ou eliminação Gaussiana, é uma técnica extremamente útil em vários tópicos matemáticos.
Se trata de um algoritmo proposto no final do século XVIII, ou início do século XIX, pelo notável cientista alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), conhecido como o “Príncipe da matemática”.
Esta técnica pode ser aplicada, por exemplo, para a resolução de sistemas de equações lineares, para o cálculo do determinante de matrizes e para a obtenção da matriz inversa. Estes três tópicos serão abordados na sequência deste artigo.
Este processo de escalonamento consiste em uma sequência de aplicações de certas operações básicas em matrizes.
Tal procedimento não altera as propriedades/características da matriz e visa, ao final, obter uma matriz equivalente, simplificada, pela qual a resposta para o problema em questão seja facilmente encontrada.
São apenas três as operações básicas, chamadas de operações elementares por linhas, as quais apresentamos abaixo.
- 1. Trocar os elementos de duas linhas de posição;
- 2. Multiplicar todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero; e,
- 3. Substituir uma linha pela soma (ou subtração) dela com outra linha multiplicada por um número.
Para que possamos entender o processo de escalonamento de modo mais prático, vejamos como ele é aplicado nos tópicos a seguir.
Na resolução de sistemas de equações lineares, por exemplo, apresentamos exemplos passo a passo, aplicando a eliminação de Gauss. Vamos nessa.
Sistemas de equações lineares
Se trata de um fascinante tema. Problemas das mais variadas áreas são representados e resolvidos por meio de suas técnicas.
Por este tópico ser mais extenso, assim como a multiplicação de matrizes, também criamos um artigo exclusivo para ele, com aplicações, exemplos e exercícios.
Então, venha conosco descobrir como representar problemas e aprender, de forma bem prática, como resolver sistemas de equações lineares.
Cálculo do determinante
Outro assunto extremamente relevante, quando se trata do estudo das matrizes, é o determinante.
O determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada, A, um número real, o qual denotamos por det(A).
Existem várias propriedades e resultados importantes envolvendo o determinante de uma matriz. Por exemplo, uma matriz quadrada A só pode ser invertida se det(A) for diferente de zero.
É importante destacar que, na prática, as matrizes não são apenas de ordem 2×2 ou 3×3. Na grande maioria dos casos são de ordem bem maiores.
Logo, não vale a pena perder tempo aprendendo/decorando “macetes” que servem apenas para casos extremamente pequenos.
Nesta seção você irá aprender, de maneira simples e definitiva, como calcular o determinante de qualquer matriz quadrada, e de qualquer ordem.
Através de algumas propriedades, podemos aplicar operações elementares na matriz até obtermos o seu determinante.
Algumas propriedades sobre o determinante
- O determinante de qualquer matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
- Se alguma linha (ou coluna) da matriz é nula, então o seu determinante é zero.
- Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
- Para cada troca de linhas, ou colunas, multiplica-se o determinante por -1.
Pela primeira propriedade temos, por exemplo, que o determinante da matriz identidade é igual a 1.
Bom, para obter o determinante de uma matriz quadrada qualquer, podemos, então, aplicar operações elementares (3 e 4) na matriz até torná-la triangular.
Vejamos um exemplo.
Suponha que estamos interessados em encontrar o determinante da matriz A. Note que tanto de A para B, quanto de B para C, aplicamos uma operação conforme o item 3 das propriedades acima.
Logo, pela propriedade 3, o determinante da matriz C é igual ao da matriz B, que é igual ao da matriz A. Isto é, det(A) = det(B) = det(C).
Finalmente, pela propriedade 1, como C é uma matriz triangular, temos que det(C) é o produto dos elementos de sua diagonal principal.
Ou seja, det(C) = 10 x (-1) x 59 = -590.
Portanto, como o determinante de A é igual ao de C, temos que det(A) = -590.
Matriz inversa
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