A multiplicação de matrizes é uma das operações mais importantes da Álgebra Linear e fundamental para a resolução de problemas diversos.
Neste artigo, exibimos um exemplo numérico, definimos a operação de multiplicação de matrizes, apresentamos uma aplicação real para esta operação, envolvendo o ENEM e o SiSU, disponibilizamos mais exemplos e exercícios numéricos.
Para os exemplos e exercícios numéricos, oferecemos a você ferramentas exclusivas, especializadas neste tópico.
Sua prática na resolução dos exercícios fica muito mais focada e, ao final, você recebe uma correção instantânea. Consequentemente, você economiza seu tempo.
No final do artigo, apresentamos questões mais gerais/teóricas envolvendo a multiplicação de matrizes, com resoluções.
Então, vamos nessa!
Exemplos e definições
Antes de avançarmos, é importante uma observação.
É comum estudantes que estejam estudando matrizes pela primeira vez, especialmente após aprenderem a soma de matrizes, imaginarem que a multiplicação de matrizes é similar a soma de matrizes. O que não é verdade.
Porém, embora não seja similar a operação de soma, a multiplicação de matrizes também é uma operação simples de ser entendida.
Vamos a um pequeno exemplo numérico.
Como se pode notar no exemplo, a operação de multiplicação de matrizes também envolve duas matrizes e tem como resultado uma terceira matriz.
A operação consiste dos produtos internos entre as linhas da primeira matriz e as colunas da segunda matriz.
Então, a regra é única e clara, apenas se pode multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz (no exemplo acima é 3) for igual ao número de linhas da segunda matriz.
Observe, por exemplo, que o número 7 na matriz resultante (na linha 2 e coluna 1) é o produto interno entre a linha 2 da primeira matriz e a coluna 1 da segunda matriz.
De forma geral, o elemento da linha i e coluna j, da matriz resultante, é o produto interno da linha i da primeira matriz com a coluna j da segunda matriz.
Logo, a matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Vamos a um exemplo prático, de aplicação onde se faz uso da multiplicação de matrizes.
Notas do ENEM para concorrer via SiSU
No Brasil, em torno de 6 mil cursos superiores oferecem vagas, através do Sistema de Seleção Unificada (SiSU), para o ingresso de estudantes de todo o país.
Todos os anos, milhões de estudantes participam do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), que é composto por quatro provas e uma redação.
Normalmente, o ENEM é realizado em dois domingos consecutivos, no final de cada ano.
Como funciona o processo?
Após a obtenção das notas (resultado do ENEM), os estudantes utilizam o SiSU, em data específica, para escolher o curso/universidade desejado e concorrer a uma vaga.
Cada estudante pode escolher até duas opções.
No final, as n vagas ofertadas por cada curso/universidade são preenchidas com as n melhores notas indicadas para concorrer ao mesmo.
Outro ponto fundamental, deste processo, é que cada curso/universidade define os pesos que irá atribuir para as notas das quatro provas e da redação.
Dito isto, vamos a uma aplicação da operação de multiplicação de matrizes.
Uma aplicação da multiplicação de matrizes
Em muitos caso, o estudante poderia estar interessado em algum outro curso, e/ou instituição, diferente das duas opções que ele indicou.
Então, seria interessante para o estudante obter, com apenas uma consulta, todos os cursos e instituições que ele teria chances de concorrer com suas notas do ENEM.
Claro, escolas também podem estar interessadas em saber as diversas chances de seus estudantes.
Para o próprio governo, e instituições, a pontuação de estudantes nos cursos pode ser útil, por exemplo, para ações estratégicas.
Portanto, o que queremos é descobrir a nota de cada estudante, que tenha realizado a prova do ENEM, em cada curso superior de todas as instituições/universidades que oferecem vagas pelo SiSU.
Vejamos como podemos obter tais informações através da multiplicação de duas matrizes.
As duas matrizes
A primeira matriz, neste caso, é uma matriz com milhões de linhas e 5 colunas. Uma linha para cada estudante que realizou o ENEM. E, as cinco colunas, contêm as notas do estudante em cada uma das quatro provas e a nota da redação.
Já a segunda matriz é formada por cinco linhas e milhares de colunas. Cada coluna representa um curso/universidade e contém, em suas cinco linhas, os pesos que o curso atribui para as cinco notas do ENEM.
Veja, na imagem abaixo, parte das duas matrizes a serem multiplicadas.
O resultado da multiplicação matricial
Note que o produto interno entre a linha 1, da primeira matriz, e a coluna 2, da segunda matriz, resulta na nota do estudante 1 para concorrer ao curso 2.
Isto é: ( (750 × 2) + (590 × 2.5) + (800 × 1.5) + (640 × 2.5) + (860 × 1.5) ) / 10 = 706.5
Logo, o resultado desta multiplicação matricial, que é uma matriz de grande porte, contém as notas dos estudantes para cada um dos cursos ofertados no SiSU.
Com relação ao estudante 1, por exemplo, caso o ponto de corte do curso 2 seja 700 pontos, poderíamos dizer que existe a chance de ele ser aprovado para tal curso.
Várias outras informações interessantes podem ser extraídas deste processo. Mas como o objetivo neste artigo foi apenas exibir um exemplo da multiplicação de matrizes, não iremos estender na linha desta aplicação.
Bom, então voltemos ao aprendizado da operação de multiplicação de matrizes. Vamos, agora, à prática com mais exemplos e exercícios numéricos.
Outros exemplos
Siga a explicação passo a passo, pelo app A⁺Example, das multiplicações de matrizes a seguir. Reflita sobre o resultado da primeira multiplicação de matrizes abaixo.
Clique nas matrizes abaixo para iniciar a explicação.
Agora é a sua vez de comandar as resoluções.
Exercícios
Utilize a estrutura do app A⁺Practice para resolver as questões a seguir. Após a resolução, classifique a matriz resultante da segunda questão.
Clique nas matrizes abaixo para iniciar a resolução.
Agora é hora de você refletir um pouco mais e tirar algumas conclusões sobre a multiplicação de matrizes.
Que tal pegar papel e caneta, expressar matrizes de acordo com cada questão e, assim, tirar suas conclusões? Manda ver!
Questões extra
- Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que A × B = A × C, então podemos afirmar que B = C?
- A multiplicação matricial A × T, onde T é a matriz transposta de A, é sempre uma matriz simétrica?
- [EM BREVE]
- Sempre que for possível calcular A × B, onde A e B são matrizes, também será possível calcular B × A?
- [EM BREVE]
- Existindo a matriz C = A × B e a matriz D = B × A, onde A e B são matrizes, então podemos afirmar que C e D são matrizes de mesma dimensão?
- [EM BREVE]
- Sendo possível calcular A × B e B × A, onde A e B são matrizes, e sendo as duas matrizes resultantes de mesma ordem, então podemos afirmar que A × B = B × A?
- [EM BREVE]
- Sendo A e B duas matrizes tais que A × B = B × A, então podemos afirmar que A e B são matrizes quadradas?
- [EM BREVE]
FAQs
Como multiplicar matrizes 2×3 e 2×2?
Em A2×2 por B2×3, a quantidade de colunas da primeira matriz é igual a quantidade de linhas da segunda. Neste caso, o produto existe e o resultado seria C = A·B, onde a matriz C é de ordem 2×3. Já o produto B2×3 por A2×2 não existe, pois o número de colunas da primeira, B, que é 3, é diferente do número de linhas da segunda, A, que é 2.
Qual e a regra para multiplicar?
A regra é única para que se possa multiplicar duas matrizes: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Caso contrário, é impossível multiplicar.
Como multiplicar matriz de ordem diferente?
Só é possível fazer o produto de duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz é igual a quantidade de linhas da segunda matriz. Assim sendo, o produto interno de cada linha i da primeira matriz, com cada coluna j da segunda matriz, resultará no elemento da linha i e coluna j na matriz resultante.
